CR分解
引言
在矩阵分析中，CR分解是一种基于矩阵列空间与行空间的结构化分解方法。它将任意矩阵分解为列满秩矩阵和行满秩矩阵的乘积，为解决线性方程组、数据降维等问题提供了重要工具。本文将深入解析CR分解的定义、计算步骤及其应用。
1. 预备知识
矩阵的秩（Rank）
矩阵的秩表示其行（或列）向量中极大线性无关组的个数，记为 $r$。对于 $m \times n$ 的矩阵 $A$，有：
$$ \text{rank}(A) = r \leq \min(m, n) $$
列空间与行空间
- 列空间（Column Space）：由矩阵所有列向量张成的子空间。
- 行空间（Row Space）：由矩阵所有行向量张成的子空间。
2. CR分解的定义
对于任意 $m \times n$ 矩阵 $A$，其CR分解可表示为：
$$ A = C \cdot R $$
其中：
- $C$ 是 $m \times r$ 的列满秩矩阵，由 $A$ 的 线性无关列 构成。
- $R$ 是 $r \times n$ 的行满秩矩阵，为行简化阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）。
3. 分解步骤
步骤1：确定线性无关列
- 对矩阵 $A$ 进行列选主元的高斯消元。
- 选取 $A$ 中 前 $r$ 个线性无关列 组成矩阵 $C$。
步骤2：构造矩阵R
- 将矩阵 $A$ 通过行变换化为行简化阶梯形。
- 保留阶梯形中对应主元列的 $r$ 行，得到矩阵 $R$。
4. 实例演示
考虑矩阵：
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \end{bmatrix} $$
Step 1: 矩阵秩为1（所有列成比例），选取第一列组成 $C$：
$$ C = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $$
Step 2: 行简化阶梯形为：
$$ R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} $$
验证分解：
$$ C \cdot R = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} = A $$
5. 性质分析
存在性
- 任何矩阵均可进行CR分解，仅需秩 $r > 0$。
唯一性
- 当选取的线性无关列不同时，分解形式不唯一。
- 但行简化阶梯形 $R$ 是唯一的。
6. 应用场景
- 数据压缩：用更少的列（$C$）和行（$R$）表示原矩阵。
- 线性方程组求解：通过分解降低计算复杂度。
- 推荐系统：在低秩近似中提取用户和物品特征。
7. 与其他分解对比
| 分解类型 | 形式 | 特点 |
|---|---|---|
| CR | $A = CR$ | 显式保留列、行空间结构 |
| QR | $A = QR$ | 正交分解，数值稳定 |
| SVD | $A = U\Sigma V^T$ | 最优低秩近似 |
结语
CR分解通过分离矩阵的列空间与行空间，揭示了矩阵的内在结构。尽管其计算依赖于高斯消元，但在理论分析和实际应用中均展现出独特价值。理解CR分解有助于深入掌握矩阵的秩与空间理论。